小鲸鱼的梦境
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『洛谷』高精度

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本文字数： 18k 阅读时长 ≈ 16 分钟

高精度

在 C++ 中，long long 都无法表示我们需要的整数时怎么办？那就用高精度吧！

在 C++ 中，long long 都无法表示我们需要的整数时怎么办？那就用 Python 吧🤣

好吧，高精度对 Python 没有意义，所以该篇中禁用 Python 和 Java 自带的高精度（这些高精度的题目利用 Python 均能一行解决，这没意义）。

五道题，包括加减乘除四项基本运算，最后一题算是应用题吧

完整代码

下面是完整的高精度代码，包含加减乘除，除了减法结果以外均不考虑负数

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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;

class number {
public:
    string num;         // 记录数值
    bool neg = false;   // 是否是负数
    number(string &n) {
        num = n;
    }
    number(long long n) {
        num = to_string(n);
    }

    number(int n) {
        num = to_string(n);
    }

    string get() {
        return num;
    }
    
    // 输出流
    friend ostream &operator<<(ostream&, const number&);
    // 加法
    friend number operator+(const number&, const number&);
    // 小于号
    friend bool operator<(const number&, const number&);
    // 减法，结果可能是负数
    friend number operator-(const number&, const number&);
    // 个位数的乘法
    friend number operator*(const number&, const int);
    // 乘法，不考虑负数
    friend number operator*(const number&, const number&);
    // 除法，不考虑负数，只保留整数部分
    friend number operator/(const number&, const number&);
};

ostream &operator<<(ostream &out, const number &a) {
    if (a.neg) out << '-';
    out << a.num;
    return out;
}

number operator+(const number &a, const number &b) {
    // 加法, 不考虑负数
    stringstream ss;
    auto x = a.num.rbegin(), y = b.num.rbegin();
    int c = 0;  // 进位标志
    while (x != a.num.rend() || y != b.num.rend() || c > 0) {
        if (x != a.num.rend()) {
            c += (*x) - '0'; ++x;
        }
        if (y != b.num.rend()) {
            c += (*y) - '0'; ++y;
        }
        ss << c % 10;
        c /= 10;
    }
    string ans = ss.str();
    // 结果是反的，要逆过来存下
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}
    
bool operator<(const number &a, const number &b) {
    // 比较大小，不考虑负数
    int n1 = a.num.size(), n2 = b.num.size();
    if (n1 != n2) return n1 < n2;
    for (auto x = a.num.begin(), y = b.num.begin(); x != a.num.end(); ++x, ++y) {
        if ((*x) != (*y)) return (*x) < (*y);
    }
    return false; // 不考虑等于
}
    
bool operator>=(const number &a, const number &b) {
    // 比较大小，不考虑负数
    int n1 = a.num.size(), n2 = b.num.size();
    if (n1 != n2) return n1 > n2;
    for (auto x = a.num.begin(), y = b.num.begin(); x != a.num.end(); ++x, ++y) {
        if ((*x) != (*y)) return (*x) > (*y);
    }
    return true; // 考虑等于
}

number operator-(const number &a, const number &b) {
    // 减法，结果可能是负数
    if (a < b) {
        auto ans = b - a;
        ans.neg = true;
        return ans;
    }
    stringstream ss;
    auto x = a.num.rbegin(), y = b.num.rbegin();
    // 借位标志 c
    for (int c = 0; x != a.num.rend(); ++x) {
        c = (*x) - '0' - c;
        if (y != b.num.rend()) {
            c -= (*y) - '0'; ++y;
        }
        ss << (c + 10) % 10;
        if (c < 0) c = 1;
        else c = 0;
    }
    string ans = ss.str();
    while (ans.back() == '0') ans.pop_back();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    if (ans.size() == 0) return number(0);
    return number(ans);
}

number operator*(const number &a, const int b) {
    // 与个位数的乘法
    if (b == 0) return number(0);
    stringstream ss;
    int c = 0;      // 进位标志
    for (auto x = a.num.rbegin(); x != a.num.rend() || c != 0; c /= 10) {
        if (x != a.num.rend()){
            c = (*x - '0') * b + c; ++x;
        }
        ss << c % 10;
    }
    string ans = ss.str();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}

number operator*(const number &a, const number &b) {
    // 高精度乘法，不考虑负数
    number ans(0);
    int cnt = 0;    // 移位标志
    for (auto x = b.num.rbegin(); x != b.num.rend(); ++x, ++cnt) {
        auto tmp = a * (*x - '0');
        if (tmp.num == "0") continue; // 0 不需要处理
        for (int i = 0; i < cnt; ++i) tmp.num.push_back('0');
        ans = ans + tmp;
    }
    return ans;
}

number operator/(const number &a, const number &b) {
    // 高精度除法，只保留整数部分，不考虑负数
    if (a < b) return number(0);
    string tmp = a.num.substr(0, b.num.size());
    number base(tmp);
    stringstream ss;
    for (auto x = a.num.begin() + b.num.size(); ; x++) {
        int cnt = 0;
        while (base >= b * (cnt + 1)) ++cnt;
        ss << cnt;
        if (x == a.num.end()) break;
        base = base - (b * cnt);
        if (base.num == "0") base.num = *x;
        else base.num.push_back(*x);
    }
    string ans = ss.str();
    // 去掉前置 0
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    while (ans.back() == '0') ans.pop_back();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}

int main() {
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    // P1601 高精度加法
    cout << number(a) + number(b) << '\n';
    // P2142 高精度减法
    cout << number(a) - number(b) << '\n';
    // 1303 高精度乘法
    cout << number(a) * number(b) << '\n';
    // 1480 高精度除法
    cout << number(a) / number(b) << '\n';
    return 0;
}

P1601 A+B Problem（高精）

题目描述

高精度加法，相当于 a+b problem，不用考虑负数。

输入格式

分两行输入。\(a,b \leq 10^{500}\)。

输出格式

输出只有一行，代表 \(a+b\) 的值。

样例 #1

样例输入 #1

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样例输出 #1

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样例 #2

样例输入 #2

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9099

样例输出 #2

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解题思路

用字符串或者字符数组存数然后手动加减即可

解答代码

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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

void redir() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
//    std::cin.tie(0);
//    std::cout.tie(0);
//    freopen("luogu.in", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
}

const int N = 555;
char a[N], b[N], c[N];

int read(char *s) {
    int i = 0;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) s[i++] = c;
    return i;
}

void rev(char *s, int n) {
    char tmp;
    for (int i = 0, j = n - 1; i < j; ++i, --j) {
        tmp = s[i]; s[i] = s[j]; s[j] = tmp;
    }
}

int add(char *s1, int n1, char *s2, int n2, char *s3) {
    // 将长度为 n1, n2 的 s1, s2 相加，结果放在 s3, 返回长度
    int f = 0, num, i = 0; // 进位标志
    --n1; --n2;
    while (n1 >= 0 || n2 >= 0) {
        num = (n1 >= 0 ? s1[n1] - '0' : 0) + (n2 >= 0 ? s2[n2] - '0' : 0) + f;
        --n1; --n2;
        if (num > 9) {
            f = 1; num -= 10;
        }
        else f = 0;
        s3[i++] = num + '0';
    }
    if (f != 0) s3[i++] = f + '0';
    rev(s3, i); // 结果是反的，要反一下
    return i;
}

int main() {

    redir();
    int n1 = read(a), n2 = read(b);
    int n3 = add(a, n1, b, n2, c);
    for (int i = 0; i < n3; ++i) putchar(c[i]);
    return 0;
}

P2142 高精度减法

题目描述

高精度减法。

输入格式

两个整数 \(a,b\)（第二个可能比第一个大）。

输出格式

结果（是负数要输出负号）。

样例 #1

样例输入 #1

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样例输出 #1

1
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提示

  • \(20\%\) 数据 \(a,b\) 在 long long 范围内；
  • \(100\%\) 数据 \(0<a,b\le 10^{10086}\)。

解题思路

模拟下竖式减法，注意几个坑点就是了。一是要去掉多余的前导零，二是结果为 0 时别清空了

解答代码

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#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

void redir() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
}

const int N = 12000;
char a[N], b[N], c[N];

int read(char *s) {
    int i = 0;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) s[i++] = c;
    return i;
}

void rev(char *s, int n) {
    char tmp;
    for (int i = 0, j = n - 1; i < j; ++i, --j) {
        tmp = s[i]; s[i] = s[j]; s[j] = tmp;
    }
}

bool comp(char *s1, int n1, char *s2, int n2) {
    // return s1 >= s2
    if (n1 != n2) return n1 >= n2;
    for (int i = 0; i < n1; ++i) {
        if (s1[i] != s2[i]) return s1[i] >= s2[i];
    }
    return true; // s1 == s2
}

int hp_minus(char *s1, int n1, char *s2, int n2, char *s3) {
    int idx = 0, num, f = 0, neg = 0; // f 借位, neg 是否为负数
    if (!comp(s1, n1, s2, n2)) {
        char* tmp = s1; s1 = s2; s2 = tmp;
        neg = n1; n1 = n2; n2 = neg;
        neg = 1;
    }
    for (--n1, --n2; n1 >= 0; --n1, --n2) {
        num = s1[n1] - (n2 >= 0 ? s2[n2] : '0') - f;
        if (num < 0) {
            f = 1; num += 10;
        }
        else f = 0;
        s3[idx++] = num + '0';
    }
    while (idx > 0 && s3[idx - 1] == '0') --idx;
    if (neg == 1 && idx > 0) s3[idx++] = '-';
    if (idx == 0) s3[idx++] = '0';
    rev(s3, idx);
    return idx;
}

int main() {

    redir();
    int n1 = read(a), n2 = read(b);
    int n3 = hp_minus(a, n1, b, n2, c);
    for (int i = 0; i < n3; ++i) putchar(c[i]);
    return 0;
}

P1303 A*B Problem

题目描述

给出两个非负整数，求它们的乘积。

输入格式

输入共两行，每行一个非负整数。

输出格式

输出一个非负整数表示乘积。

样例 #1

样例输入 #1

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样例输出 #1

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提示

每个非负整数不超过 \(10^{2000}\)。

解题思路

模拟竖式乘法即可

解答代码

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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;

class number {
private:
    string num;         // 记录数值
    bool neg = false;   // 是否是负数
public:
    number(string &n) {
        num = n;
    }
    number(long long n) {
        num = to_string(n);
    }

    number(int n) {
        num = to_string(n);
    }

    string get() {
        return num;
    }
    
    // 输出流
    friend ostream &operator<<(ostream&, const number&);
    // 加法
    friend number operator+(const number&, const number&);
    // 小于号
    friend bool operator<(const number&, const number&);
    // 减法，结果可能是负数
    friend number operator-(const number&, const number&);
    // 个位数的乘法
    friend number operator*(const number&, const int);
    // 乘法，不考虑负数
    friend number operator*(const number&, const number&);
};

ostream &operator<<(ostream &out, const number &a) {
    if (a.neg) out << '-';
    out << a.num;
    return out;
}

number operator+(const number &a, const number &b) {
    // 加法, 不考虑负数
    stringstream ss;
    auto x = a.num.rbegin(), y = b.num.rbegin();
    int c = 0;  // 进位标志
    while (x != a.num.rend() || y != b.num.rend() || c > 0) {
        if (x != a.num.rend()) {
            c += (*x) - '0'; ++x;
        }
        if (y != b.num.rend()) {
            c += (*y) - '0'; ++y;
        }
        ss << c % 10;
        c /= 10;
    }
    string ans = ss.str();
    // 结果是反的，要逆过来存下
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}
    
bool operator<(const number &a, const number &b) {
    // 比较大小，不考虑负数
    int n1 = a.num.size(), n2 = b.num.size();
    if (n1 != n2) return n1 < n2;
    for (auto x = a.num.begin(), y = b.num.begin(); x != a.num.end(); ++x, ++y) {
        if ((*x) != (*y)) return (*x) < (*y);
    }
    return false; // 不考虑等于
}


number operator-(const number &a, const number &b) {
    // 减法，结果可能是负数
    if (a < b) {
        auto ans = b - a;
        ans.neg = true;
        return ans;
    }
    stringstream ss;
    auto x = a.num.rbegin(), y = b.num.rbegin();
    // 借位标志 c
    for (int c = 0; x != a.num.rend(); ++x) {
        c = (*x) - '0' - c;
        if (y != b.num.rend()) {
            c -= (*y) - '0'; ++y;
        }
        ss << (c + 10) % 10;
        if (c < 0) c = 1;
        else c = 0;
    }
    string ans = ss.str();
    while (ans.back() == '0') ans.pop_back();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    if (ans.size() == 0) return number(0);
    return number(ans);
}

number operator*(const number &a, const int b) {
    // 与个位数的乘法
    if (b == 0) return number(0);
    stringstream ss;
    int c = 0;      // 进位标志
    for (auto x = a.num.rbegin(); x != a.num.rend() || c != 0; c /= 10) {
        if (x != a.num.rend()){
            c = (*x - '0') * b + c; ++x;
        }
        ss << c % 10;
    }
    string ans = ss.str();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}

number operator*(const number &a, const number &b) {
    // 高精度乘法
    number ans(0);
    int cnt = 0;    // 移位标志
    for (auto x = b.num.rbegin(); x != b.num.rend(); ++x, ++cnt) {
        auto tmp = a * (*x - '0');
        if (tmp.num == "0") continue;
        for (int i = 0; i < cnt; ++i) tmp.num.push_back('0');
        ans = ans + tmp;
    }
    return ans;
}


int main() {
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    // 1301 高精度乘法
    cout << number(a) * number(b) << '\n';
    return 0;
}

P1480 A/B Problem

题目描述

输入两个整数 \(a,b\)，输出它们的商。

输入格式

两行，第一行是被除数，第二行是除数。

输出格式

一行，商的整数部分。

样例 #1

样例输入 #1

1
2
10
2

样例输出 #1

1
5

提示

\(0\le a\le 10^{5000}\)，\(1\le b\le 10^9\)。

解题思路

模拟竖式除法即可

解答代码

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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;

class number {
public:
    string num;         // 记录数值
    bool neg = false;   // 是否是负数
    number(string &n) {
        num = n;
    }
    number(long long n) {
        num = to_string(n);
    }

    number(int n) {
        num = to_string(n);
    }

    string get() {
        return num;
    }
    
    // 输出流
    friend ostream &operator<<(ostream&, const number&);
    // 加法
    friend number operator+(const number&, const number&);
    // 小于号
    friend bool operator<(const number&, const number&);
    // 减法，结果可能是负数
    friend number operator-(const number&, const number&);
    // 个位数的乘法
    friend number operator*(const number&, const int);
    // 乘法，不考虑负数
    friend number operator*(const number&, const number&);
    // 除法，不考虑负数，只保留整数部分
    friend number operator/(const number&, const number&);
};

ostream &operator<<(ostream &out, const number &a) {
    if (a.neg) out << '-';
    out << a.num;
    return out;
}

number operator+(const number &a, const number &b) {
    // 加法, 不考虑负数
    stringstream ss;
    auto x = a.num.rbegin(), y = b.num.rbegin();
    int c = 0;  // 进位标志
    while (x != a.num.rend() || y != b.num.rend() || c > 0) {
        if (x != a.num.rend()) {
            c += (*x) - '0'; ++x;
        }
        if (y != b.num.rend()) {
            c += (*y) - '0'; ++y;
        }
        ss << c % 10;
        c /= 10;
    }
    string ans = ss.str();
    // 结果是反的，要逆过来存下
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}
    
bool operator<(const number &a, const number &b) {
    // 比较大小，不考虑负数
    int n1 = a.num.size(), n2 = b.num.size();
    if (n1 != n2) return n1 < n2;
    for (auto x = a.num.begin(), y = b.num.begin(); x != a.num.end(); ++x, ++y) {
        if ((*x) != (*y)) return (*x) < (*y);
    }
    return false; // 不考虑等于
}
    
bool operator>=(const number &a, const number &b) {
    // 比较大小，不考虑负数
    int n1 = a.num.size(), n2 = b.num.size();
    if (n1 != n2) return n1 > n2;
    for (auto x = a.num.begin(), y = b.num.begin(); x != a.num.end(); ++x, ++y) {
        if ((*x) != (*y)) return (*x) > (*y);
    }
    return true; // 考虑等于
}


number operator-(const number &a, const number &b) {
    // 减法，结果可能是负数
    if (a < b) {
        auto ans = b - a;
        ans.neg = true;
        return ans;
    }
    stringstream ss;
    auto x = a.num.rbegin(), y = b.num.rbegin();
    // 借位标志 c
    for (int c = 0; x != a.num.rend(); ++x) {
        c = (*x) - '0' - c;
        if (y != b.num.rend()) {
            c -= (*y) - '0'; ++y;
        }
        ss << (c + 10) % 10;
        if (c < 0) c = 1;
        else c = 0;
    }
    string ans = ss.str();
    while (ans.back() == '0') ans.pop_back();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    if (ans.size() == 0) return number(0);
    return number(ans);
}

number operator*(const number &a, const int b) {
    // 与个位数的乘法
    if (b == 0) return number(0);
    stringstream ss;
    int c = 0;      // 进位标志
    for (auto x = a.num.rbegin(); x != a.num.rend() || c != 0; c /= 10) {
        if (x != a.num.rend()){
            c = (*x - '0') * b + c; ++x;
        }
        ss << c % 10;
    }
    string ans = ss.str();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}

number operator*(const number &a, const number &b) {
    // 高精度乘法，不考虑负数
    number ans(0);
    int cnt = 0;    // 移位标志
    for (auto x = b.num.rbegin(); x != b.num.rend(); ++x, ++cnt) {
        auto tmp = a * (*x - '0');
        if (tmp.num == "0") continue; // 0 不需要处理
        for (int i = 0; i < cnt; ++i) tmp.num.push_back('0');
        ans = ans + tmp;
    }
    return ans;
}

number operator/(const number &a, const number &b) {
    // 高精度除法，只保留整数部分，不考虑负数
    if (a < b) return number(0);
    string tmp = a.num.substr(0, b.num.size());
    number base(tmp);
    stringstream ss;
    for (auto x = a.num.begin() + b.num.size(); ; x++) {
        int cnt = 0;
        while (base >= b * (cnt + 1)) ++cnt;
        ss << cnt;
        if (x == a.num.end()) break;
        base = base - (b * cnt);
        if (base.num == "0") base.num = *x;
        else base.num.push_back(*x);
    }
    string ans = ss.str();
    // 去掉前置 0
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    while (ans.back() == '0') ans.pop_back();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}

int main() {
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    // 1480 高精度除法
    cout << number(a) / number(b) << '\n';
    return 0;
}

P1009 [NOIP1998 普及组] 阶乘之和

题目描述

用高精度计算出 \(S = 1! + 2! + 3! + \cdots + n!\)（\(n \le 50\)）。

其中 ! 表示阶乘，定义为 \(n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 1\)。例如，\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120\)。

输入格式

一个正整数 \(n\)。

输出格式

一个正整数 \(S\)，表示计算结果。

样例 #1

样例输入 #1

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样例输出 #1

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提示

【数据范围】

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le n \le 50\)。

【其他说明】

注，《深入浅出基础篇》中使用本题作为例题，但是其数据范围只有 \(n \le 20\)，使用书中的代码无法通过本题。

如果希望通过本题，请继续学习第八章高精度的知识。

解题思路

很简单的应用题

解答代码

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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;

class number {
public:
    string num;         // 记录数值
    bool neg = false;   // 是否是负数
    number(string &n) {
        num = n;
    }
    number(long long n) {
        num = to_string(n);
    }

    number(int n) {
        num = to_string(n);
    }

    string get() {
        return num;
    }
    
    // 输出流
    friend ostream &operator<<(ostream&, const number&);
    // 加法
    friend number operator+(const number&, const number&);
    // 个位数的乘法
    friend number operator*(const number&, const int);
    // 乘法，不考虑负数
    friend number operator*(const number&, const number&);
};

ostream &operator<<(ostream &out, const number &a) {
    if (a.neg) out << '-';
    out << a.num;
    return out;
}

number operator+(const number &a, const number &b) {
    // 加法, 不考虑负数
    stringstream ss;
    auto x = a.num.rbegin(), y = b.num.rbegin();
    int c = 0;  // 进位标志
    while (x != a.num.rend() || y != b.num.rend() || c > 0) {
        if (x != a.num.rend()) {
            c += (*x) - '0'; ++x;
        }
        if (y != b.num.rend()) {
            c += (*y) - '0'; ++y;
        }
        ss << c % 10;
        c /= 10;
    }
    string ans = ss.str();
    // 结果是反的，要逆过来存下
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}

number operator*(const number &a, const int b) {
    // 与个位数的乘法
    if (b == 0) return number(0);
    stringstream ss;
    int c = 0;      // 进位标志
    for (auto x = a.num.rbegin(); x != a.num.rend() || c != 0; c /= 10) {
        if (x != a.num.rend()){
            c = (*x - '0') * b + c; ++x;
        }
        ss << c % 10;
    }
    string ans = ss.str();
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return number(ans);
}

number operator*(const number &a, const number &b) {
    // 高精度乘法，不考虑负数
    number ans(0);
    int cnt = 0;    // 移位标志
    for (auto x = b.num.rbegin(); x != b.num.rend(); ++x, ++cnt) {
        auto tmp = a * (*x - '0');
        if (tmp.num == "0") continue; // 0 不需要处理
        for (int i = 0; i < cnt; ++i) tmp.num.push_back('0');
        ans = ans + tmp;
    }
    return ans;
}

number factorial(long long n) {
    // 计算 n 的阶乘，应用高精度乘法和加法即可
    number ans(1), cnt(1);
    for (long long i = 2; i <= n; ++i) {
        cnt = cnt * number(i);
        ans = ans + cnt;
    }
    return ans;
}

int main() {
    // 阶乘
    long long n;
    cin >> n;
    cout << factorial(n);
    return 0;
}
--- ♥ end ♥ ---

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