『LeetCode』931 下降路径最小和

题目

给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的 下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

示例 2：

输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

提示：

n == matrix.length == matrix[i].length
1 <= n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100

题解

【下降路径最小和】动态规划

动态规划

不能想到，该问题具有无后效性，适合用动态规划，具体来说，第 \(i\) 行的结果只取决于第 \(i - 1\) 行而不用考虑第 \(i - 1\) 行之前的路径。

据此还可以使用滚动数组进行优化

# Code language: Python
class Solution:
    def minFallingPathSum(self, matrix: List[List[int]]) -> int:
        n, m = len(matrix), len(matrix[0])
        # 原地修改
        for i in range(1, n):
            for j in range(m):
                matrix[i][j] += min(matrix[i - 1][j], (matrix[i - 1][j - 1] if j > 0 else float('inf')), (matrix[i - 1][j + 1] if j + 1 < m else float('inf')))
        return min(matrix[-1])

# Code language: Python
class Solution:
    def minFallingPathSum(self, matrix: List[List[int]]) -> int:
        n, m = len(matrix), len(matrix[0])
        # 滚动数组
        dp = matrix[0]
        for i in range(1, n):
            dp = [min(dp[j], (dp[j - 1] if j > 0 else float('inf')), (dp[j + 1] if j + 1 < m else float('inf'))) + matrix[i][j] for j in range(m)]
                
        return min(dp)

// Code language: Java
class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        int[][] dp = new int[n][n + 2];
        for (int[] s : dp)
            Arrays.fill(s, 0x3f3f3f3f);

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            dp[0][i + 1] = matrix[0][i];
        }

        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                dp[i][j + 1] = matrix[i][j] + Math.min(dp[i - 1][j], Math.min(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j + 2]));
            }
        }

        int ans = dp[n - 1][0];
        for (int s : dp[n - 1])
            ans = Math.min(ans, s);
        return ans;
    }
}

// Code language: C++
class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size(), m = matrix[0].size();
        // 原地修改
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                matrix[i][j] += min(matrix[i - 1][j], min(j > 0 ? matrix[i - 1][j - 1] : INT_MAX, j + 1 < m ? matrix[i - 1][j + 1] : INT_MAX));
            }
        }
        int ans = INT_MAX;
        for (int i = 0; i < m; ++i) ans = min(ans, matrix[n - 1][i]);
        return ans;
    }
};

时间复杂度: \(O(nm)\)
空间复杂度: \(O(1)\) - 原地修改，\(O(m)\) - 滚动数组，\(O(nm)\) - 无优化

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